раздел математической логики (См. Логика), изучающий логические законы, общие для любой области объектов исследования (содержащей хоть один объект) с заданными на этих объектах предикатами (т. е. свойствами и отношениями). В результате формализации (См. Формализация) Л. п. принимает вид различных исчислений (См. Исчисление). Простейшими логическими исчислениями являются исчисления высказываний. В более сложных исчислениях предикатов описываются логические законы, связывающие объекты исследования с отношениями между этими объектами.

В классическом исчислении предикатов употребляются следующие знаки: 1) т. н. предметные переменные - буквы х, у, z,..., которые содержательно рассматриваются как неопределённые имена объектов исследования теории; 2) предикатные переменные - знаковые комплексы вида P^m, Qⁿ, R^l,... (m, n, l - натуральные числа), причём, например, Qⁿ означает произвольное n-местное отношение между объектами; 3) знаки для логических связок: конъюнкции &, дизъюнкции ﹀, импликации ⊃, отрицания ⌉, означающие соответственно "... и...", "... или...", "если..., то...", "неверно, что..."; 4) знаки для Кванторов ∀ (квантор всеобщности), 3 (квантор существования), означающие соответственно "для всех..." и "существует... такое, что..."; 5) запятая, скобки (для уточнения строения формул).

Если Qⁿ есть n-местная предикатная переменная, a x₁,..., x_n - предметные переменные, то выражение Qⁿ (x₁,..., x_n) есть, по определению, атомарная (элементарная) формула. Индекс n у предикатной переменной в атомарной формуле обычно опускается. Содержательно Q (x₁,..., x_n) означает высказывание, гласящее, что объекты x₁,..., x_n связаны отношением Q. Формулами считаются атомарные формулы, а также выражения, получаемые из них посредством следующих операций образования новых формул из уже полученных: 1) если φ и ψ - формулы, то (φ&ψ), (φ﹀ψ), (φ⊃ψ) и ⌉φ - также формулы; 2) если φ - формула и х - предметная переменная, то ∀xφ, ∃xφ - формулы. Определением формулы заканчивается описание языка исчисления предикатов.

Вхождение предметной переменной х в формулу φ называется связанным, если х входит в часть φ вида ∃xφ или ∀xφ или стоит непосредственно после знака квантора. Несвязанные вхождения переменной в формулу называются свободными. Если найдётся хоть одно свободное вхождение х в φ, то говорят, что переменная х входит свободно в φ или является параметром φ. Интуитивно говоря, формула φ с параметрами выражает некоторое условие, которое превращается в конкретное высказывание, если (конкретизировав предварительно область объектов) приписать определённые значения входящим в формулу параметрам и предикатным буквам. Связанные же переменные не имеют самостоятельного значения и служат (вместе с соответствующими кванторами) для обозначения общих утверждений или утверждений существования. Если φ - формула, а х и у - предметные переменные, то через φ(х∣у) будет обозначаться результат замещения всех свободных вхождений x в φ на y (а если при этом у оказалось на месте х в части формулы вида ∀yψ или ∃yψ, то следует дополнительно заменить все связанные вхождения у в эту часть на переменную, не входящую в φ; это делается для того, чтобы не допустить искажения смысла φ при замене х на у).

Пусть φ, ψ, η - произвольные формулы, а х и у - предметные переменные. Тогда формулы следующих видов принимаются в качестве аксиом классического исчисления предикатов:

1. (φ⊃(ψ⊃η)),

2. ((φ⊃(ψ⊃η))⊃((φ⊃ψ)⊃(φ⊃η))),

3. ((φ&ψ)⊃φ),

4. ((φ&ψ)⊃ψ),

5. (φ⊃(ψ⊃(φ&ψ))),

6. ((φ⊃η)⊃((ψ⊃η)⊃((φ﹀ψ)⊃η))),

7. (φ⊃(φ﹀ψ)),

8. (ψ⊃(φ﹀ψ)),

9. (⌉φ⊃)(φ⊃ψ)),

10. ((φ⊃ψ)⊃((φ⊃⌉ψ)⊃⌉φ))

11. (φ﹀⌉φ),

12. (∀xφ⊃φ(x/y)),

13. (φ(x/y) ⊃∃xφ).

В исчислении предикатов употребляются след. три правила вывода. 1) Правило вывода заключений: из формул φ и (φ⊃ψ) выводится формула ψ. Два кванторных правила вывода: 2) из формулы (φ⊃ψ), где ψ не содержит свободно х, можно вывести (φ⊃∀xψ); 3) из формулы (φ⊃ψ), где ψ не содержит свободно х, можно вывести (∃xφ⊃ψ).

В отличие от других формулировок исчисления (см., например, Логика, раздел Предмет и метод современной логики), здесь φ, ψ и η не принадлежат языку рассматриваемого исчисления, а обозначают его произвольные формулы; поэтому каждая из записей 1-13 есть аксиомная схема, "порождающая" при подстановке вместо греческой буквы некоторую конкретную аксиому; специальных правил подстановки при этой формулировке не надо.

Интуиционистское исчисление предикатов отличается от классического лишь тем, что закон исключенного третьего (аксиома 11) исключается из числа аксиом. Различие двух исчислений отражает различие в их истолкованиях. Истолкование логических связок &, ﹀, ⊃, ⌉ в исчислениях предикатов таково же, как и в соответствующих исчислениях высказываний. Что касается истолкования кванторов, то в классическом исчислении предикатов кванторы трактуются с точки зрения актуальной бесконечности. Точнее, каждая формула получает значение "истина" или "ложь", если определить модель исчисления предикатов, т. е. определить множество объектов, приписать каждой предикатной букве формулы некоторое отношение на этом множестве и приписать всем параметрам формулы некоторые объекты в качестве значений. Формула называется классически общезначимой, если она в любой модели принимает значение "истина". Как показал К. Гёдель, в классическом исчислении предикатов выводимы все классически общезначимые формулы, и только они. Эта теорема Гёделя и представляет собой точное выражение идеи формализации логики: в классическом исчислении предикатов выводятся все логические законы, общие для всех моделей.

В интуиционистском же истолковании утверждение, что некоторая формула истинна, требует проведения некоторого математического построения. Например, ∀x∃yφ истинно с интуиционистской точки зрения, только если имеется общий метод, позволяющий находить для каждого х соответствующее у. Истинность ∀x (φ﹀⌉φ) предполагает наличие метода для определения истинного члена дизъюнкции (φ﹀⌉φ) для каждого значения параметра х. Например, классически общезначимые формулы, выражающие закон исключенного третьего (φ﹀⌉φ) или закон пронесения отрицания через всеобщность (⌉∀xφ⊃∃x⌉φ), интуиционистски необщезначимы (теория моделей развивается, однако, и для интуиционистского исчисления предикатов).

Л. п. является обычным базисом для построения логических исчислений, предназначенных для описания тех или иных дисциплин (прикладных исчислений). С этой целью язык исчисления предикатов "конкретизируется": к нему добавляют предикатные символы и знаки операций, выражающие специфические отношения и операции рассматриваемой дисциплины. Например, если мы стремимся описать истинные суждения арифметики натуральных чисел, то можно добавить операции сложения, умножения, отношение делимости и т.п. Затем, кроме аксиом и правил вывода исчисления прецикатов (логических постулатов), в исчисление вводятся аксиомы, выражающие специфические законы изучаемого предмета (прикладные, специфические аксиомы). Таким образом строится, например, Формальная арифметика.

Помимо классического и интуиционистского исчислений предикатов, имеются и др. логические системы, описывающие логические законы, выразимые иными логическими средствами или с иных методологических позиций. Сюда относятся исчисления модальной логики (См. Модальная логика), вероятностной логики (См. Вероятностная логика), индуктивной логики (См. Индуктивная логика) и др.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957.

А. Г. Драгалин.